Calcul de la température

Linéarité des RTD

Les capteurs Pt100 (platine 100 Ω (PRTD)) sont beaucoup plus linéaires que les thermocouples et, dans des cas de plages et de précision limités, on peut considérer qu'ils sont linéaires.


Calcul « linéaire »

L'équation de calcul « linéaire » de la résistance d'une sonde Pt100 en fonction de la température est :
avec Rt = résistance à t°C, Ro = résistance à 0°C (100 Ω), α = coefficient de température de la sonde (0,00385Ω/Ω/°C) et T = la température en °C.

Équation Résistance versus temp

On en déduit l'équation inverse de calcul de la température à partir de la valeur de la résistance de la sonde :

Équation Température versus Résistance

Température à partir de la résistance
Résistance
(Ω)
Équation linéaire
(°C)
Table par interpolation
(°C)
Écart
(%)
10,00 -233,77 -219,41 6,54
15,00 -220,78 -207,96 6,16
20,00 -207,79 -196,51 5,74
25,00 -194,81 -184,87 5,37
30,00 -181,82 -173,12 5,03
50,00 -129,87 -125,12 3,79
75,00 -64,94 -63,34 2,52
100,00 0,00 0,00  
102,00 5,19 5,12 1,41
103,00 7,79 7,69 1,38
107,79 20,23 19,99 1,20
115,54 40,36 40,00 0,90
120,00 51,95 51,57 0,73
123,24 60,36 60,00 0,60
130,90 80,26 80,02 0,30
150,00 129,87 130,47 -0,46
175,00 194,81 197,72 -1,47
200,00 259,74 266,42 -2,51
210,00 285,71 294,33 -2,93
220,00 311,69 322,50 -3,35
250,00 389,61 408,63 -4,66
275,00 454,55 482,34 -5,76
300,00 519,48 557,99 -6,90
310,00 545,45 588,83 -7,37
399,00 776,62 880,11 -11,76

Sur la table ci-contre, on peut voir les écarts entre les valeurs de température calculées « linéairement » à partir du coefficient α Européen de 0,00385 Ω/Ω/°C et les valeurs calculées par interpolation de second ordre à partir d'une table Température versus Résistance (Erreur maximum ± 0,003°C).

La procédure de calcul par interpolation
de second ordre sera vue plus loin.

L'écart est de moins de 2% entre 0 et 180 °C. En dehors de cette plage, les écarts deviennent prohibitifs pour un dispositif censé avoir une précision meilleure que 0,1%.



Équation de Callendar-Van Dusen

La relation entre la température et la valeur ohmique des RTD a été calculée par Callendar puis, plus tard, affinée par Van Dusen ; c'est pourquoi cette équation est nommée Callendar-Van Dusen (CVD).

Équation de Callendar Van Dusen

Avec RT = résistance à T°C, R0 = résistance à 0°C, α = coefficient de température à 0°C en Ω/Ω/°C, δ = coefficient de linéarisation, β = deuxième coefficient de linéarisation pour les valeur négative de température (β = 0 pour T > 0°C).

Cette équation a été transformée pour pouvoir être utilisée plus facilement avec les coefficient A, B et C donnée par la norme DIN 43760 (IEC 751) et les fiches techniques des composants.

Équation de Callendar Van Dusen DIN 43760

Avec les conversions suivantes

Équation de Callendar Van Dusen DIN 43760
Coefficients pour différents α
CoefficientValeurValeurValeur
α0,0038500,0039260,003911
δ1,4999
β0,10863
A3,9083e-33,9848e-33,9692e-3
B-5,775e-7-5,870e-7-5,8495e-7
C-4,18301e-12-4,000e-12-4,2325e-12

Ces trois valeurs α représentent les trois principales spécifications pour les RTD

  1. 0,003850 Ω/Ω/°C : Normalisation DIN 43760, IEC 751 et autres spécifications internationales, nommé Standard Européen.
  2. 0,003926 Ω/Ω/°C : Nécessite un platine pur à 99,999% ou mieux, nommé Standard Américain.
  3. 0,003911 Ω/Ω/°C : Souvent nommé Standard Industriel U.S.

L'équation CVD permet une bonne linéarisation des RTD, ± 0.01°C entre -100°c et +100°C mais l'erreur augmente rapidement avec les hautes températures. De plus, cette équation calcule la résistance en fonction de la température ; ce qui est l'inverse des utilisations les plus courantes : température en fonction de la résistance.

Pour convertir la valeur de résistance de la RTD en température, on est obligé d'utiliser une équation quadratique du 2e dégré, qui est, en quelque sorte, la réciproque de l'équation CVD, mais uniquement pour les températures supérieure à 0°C.

Équation CVD inversée

Pour les température inférieures à 0°C, l'équation CVD est trop complexe à résoudre, aussi l'emploi des approximations successives s'impose :

Équation CVD approximation successives

Reprenons les mêmes valeurs que dans la table précédente, en y ajoutant la comparaison avec l'équation CVD

Température à partir de la résistance
Résistance
(Ω)
Équation linéaire
(°C)
Écart
(%)
Équation CVD
(°C)
Écart
(%)
Table par interpolation
(°C)
10,00 -233,77 6,541 -219,539 0,056 -219,415
15,00 -220,78 6,163 -208,114 0,073 -207,962
20,00 -207,79 5,742 -196,572 0,032 -196,509
25,00 -194,81 5,372 -184,918 0,024 -184,874
30,00 -181,82 5,026 -173,158 0,023 -173,118
50,00 -129,87 3,795 -125,602 0,383 -125,122
75,00 -64,94 2,525 -63,329 -0,010 -63,336
100,00 0,00   0,000   0,000
102,00 5,19 1,414 5,121 -0,024 5,122
103,00 7,79 1,377 7,685 -0,022 7,686
107,79 20,23 1,202 19,991 -0,012 19,993
115,54 40,36 0,905 39,998 -0,009 40,002
120,00 51,95 0,731 51,566 -0,010 51,571
123,24 60,36 0,604 59,995 -0,011 60,001
130,90 80,26 0,302 80,008 -0,012 80,018
150,00 129,87 -0,459 130,447 -0,017 130,469
175,00 194,81 -1,472 197,673 -0,021 197,715
200,00 259,74 -2,507 266,348 -0,027 266,419
210,00 285,71 -2,927 294,246 -0,029 294,330
220,00 311,69 -3,352 322,397 -0,031 322,498
250,00 389,61 -4,656 408,450 -0,045 408,635
275,00 454,55 -5,762 482,109 -0,048 482,339
300,00 519,48 -6,902 557,688 -0,055 557,993
310,00 545,45 -7,367 588,491 -0,058 588,831
399,00 776,62 -11,759 879,278 -0,095 880,113

On peut voir que les écarts de l'équation CVD sont limités et situés aux environs de 0,05% et de 0,1% pour les hautes températures.



Conversion par interpolation dans une table

Néanmoins et moyennant peu de calculs et peu de données, on peut convertir les valeurs de résistance des RTD (Pt100 DIN 43760 α = 0,00385) en température à mieux que ±0,003 °C.

Pour ce faire, on va utiliser une table comportant 40 valeurs, indexée de 1 à 40, le numéro d'index donnant la valeur ohmique, divisée par 10, de la RTD et le contenu la valeur de température associée.

 
 
 
 

Pour faciliter les explications, cette table sera dénommé $ta et ses éléments $ta[1] à $ta[40] ; la valeur ohmique de la RTD sera nommée $rtd et toutes les variables de l'algorithme seront préfixées par « $ » comme en PHP.

Table RTD pour interpolation
IndexRRTD (Ω)T °CIndexRRTD (Ω)T °C
110-219,41521210294,330
220-196,50922220322,498
330-173,11823230350,928
440-149,30424240379,628
550-125,12225250408,635
660-100,61726260437,889
770-75,82727270467,445
880-50,78128280497,309
990-25,50129290527,489
101000,00030300557,993
1111025,68631310588,831
1212051,57132320620,014
1313077,66033330651,554
14140103,95834340683,464
15150130,46935350715,758
16160157,19836360748,453
17170184,15237370781,564
18180211,33638380815,110
19190238,75639390849,109
20200266,41940400883,582

Algorithme de premier ordre

$interp = $rtd/10
$int = partie entière de $interp
$frac = $interp - $int
$a = $ta[$int]
$b = $ta[$int + 1]
$Temperature = $a + $frac*($b-$a)
Écarts interpolation 1er ordre

Écarts d'interpolation de 1er ordre


Avec cet algorithme d'interpolation du premier ordre, on obtient une précision de 0,05 °C sur toute la gamme de -200°C à +880°C. Si cette précision est insuffisante, on peut utiliser l'algorithme d'interpolation de second ordre ci-dessous :

Algorithme de second ordre

$interp = $rtd/10
$int = partie entière de $interp
$frac = $interp - $int
$a = $ta[$int]
$b = $ta[$int + 1]/2
$c = $ta[$int - 1]/2
$Temperature = $a + $frac*($b-$c + $frac*($c+$b-$a))
Écarts interpolation 2e ordre

Écarts d'interpolation de 2e ordre


Avec l'algorithme d'interpolation de second ordre, la précision est de 0,003 °C, avec, vu le calcul de $c, une limitation inférieure à 20 Ω la limite supérieure, dans les deux algorithmes, étant de 399 Ω

Conversion résistance température

Functions en PHP de conversion Ω °C et °C Ω

MÀJ : 16 juin 2019

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