Calcul de la température
Les capteurs Pt100 (platine 100 Ω (PRTD)) sont beaucoup plus linéaires que les thermocouples et, dans des cas de plages et de précision limités, on peut considérer qu'ils sont linéaires.
Calcul « linéaire »
L'équation de calcul « linéaire » de la résistance d'une sonde Pt100 en fonction de la température est :
avec Rt = résistance à t°C, Ro = résistance à 0°C (100 Ω), α = coefficient de température de la sonde (0,00385Ω/Ω/°C) et T = la température en °C.
On en déduit l'équation inverse de calcul de la température à partir de la valeur de la résistance de la sonde :
| Résistance (Ω) |
Équation linéaire (°C) |
Table par interpolation (°C) |
Écart (%) |
|---|---|---|---|
| 10,00 | -233,77 | -219,41 | 6,54 |
| 15,00 | -220,78 | -207,96 | 6,16 |
| 20,00 | -207,79 | -196,51 | 5,74 |
| 25,00 | -194,81 | -184,87 | 5,37 |
| 30,00 | -181,82 | -173,12 | 5,03 |
| 50,00 | -129,87 | -125,12 | 3,79 |
| 75,00 | -64,94 | -63,34 | 2,52 |
| 100,00 | 0,00 | 0,00 | |
| 102,00 | 5,19 | 5,12 | 1,41 |
| 103,00 | 7,79 | 7,69 | 1,38 |
| 107,79 | 20,23 | 19,99 | 1,20 |
| 115,54 | 40,36 | 40,00 | 0,90 |
| 120,00 | 51,95 | 51,57 | 0,73 |
| 123,24 | 60,36 | 60,00 | 0,60 |
| 130,90 | 80,26 | 80,02 | 0,30 |
| 150,00 | 129,87 | 130,47 | -0,46 |
| 175,00 | 194,81 | 197,72 | -1,47 |
| 200,00 | 259,74 | 266,42 | -2,51 |
| 210,00 | 285,71 | 294,33 | -2,93 |
| 220,00 | 311,69 | 322,50 | -3,35 |
| 250,00 | 389,61 | 408,63 | -4,66 |
| 275,00 | 454,55 | 482,34 | -5,76 |
| 300,00 | 519,48 | 557,99 | -6,90 |
| 310,00 | 545,45 | 588,83 | -7,37 |
| 399,00 | 776,62 | 880,11 | -11,76 |
Sur la table ci-contre, on peut voir les écarts entre les valeurs de température calculées « linéairement » à partir du coefficient α Européen de 0,00385 Ω/Ω/°C et les valeurs calculées par interpolation de second ordre à partir d'une table Température versus Résistance (Erreur maximum ± 0,003°C).
La procédure de calcul par interpolation
de second ordre sera vue plus loin.
L'écart est de moins de 2% entre 0 et 180 °C. En dehors de cette plage, les écarts deviennent prohibitifs pour un dispositif censé avoir une précision meilleure que 0,1%.
Équation de Callendar-Van Dusen
La relation entre la température et la valeur ohmique des RTD a été calculée par Callendar puis, plus tard, affinée par Van Dusen ; c'est pourquoi cette équation est nommée Callendar-Van Dusen (CVD).
Avec RT = résistance à T°C, R0 = résistance à 0°C, α = coefficient de température à 0°C en Ω/Ω/°C, δ = coefficient de linéarisation, β = deuxième coefficient de linéarisation pour les valeur négative de température (β = 0 pour T > 0°C).
Cette équation a été transformée pour pouvoir être utilisée plus facilement avec les coefficient A, B et C donnée par la norme DIN 43760 (IEC 751) et les fiches techniques des composants.
Avec les conversions suivantes
| Coefficient | Valeur | Valeur | Valeur |
|---|---|---|---|
| α | 0,003850 | 0,003926 | 0,003911 |
| δ | 1,4999 | ||
| β | 0,10863 | ||
| A | 3,9083e-3 | 3,9848e-3 | 3,9692e-3 |
| B | -5,775e-7 | -5,870e-7 | -5,8495e-7 |
| C | -4,18301e-12 | -4,000e-12 | -4,2325e-12 |
Ces trois valeurs α représentent les trois principales spécifications pour les RTD
- 0,003850 Ω/Ω/°C : Normalisation DIN 43760, IEC 751 et autres spécifications internationales, nommé Standard Européen.
- 0,003926 Ω/Ω/°C : Nécessite un platine pur à 99,999% ou mieux, nommé Standard Américain.
- 0,003911 Ω/Ω/°C : Souvent nommé Standard Industriel U.S.
L'équation CVD permet une bonne linéarisation des RTD, ± 0.01°C entre -100°c et +100°C mais l'erreur augmente rapidement avec les hautes températures. De plus, cette équation calcule la résistance en fonction de la température ; ce qui est l'inverse des utilisations les plus courantes : température en fonction de la résistance.
Pour convertir la valeur de résistance de la RTD en température, on est obligé d'utiliser une équation quadratique du 2e dégré, qui est, en quelque sorte, la réciproque de l'équation CVD, mais uniquement pour les températures supérieure à 0°C.
Pour les température inférieures à 0°C, l'équation CVD est trop complexe à résoudre, aussi l'emploi des approximations successives s'impose :
Reprenons les mêmes valeurs que dans la table précédente, en y ajoutant la comparaison avec l'équation CVD
| Résistance (Ω) |
Équation linéaire (°C) |
Écart (%) |
Équation CVD (°C) |
Écart (%) |
Table par interpolation (°C) |
|---|---|---|---|---|---|
| 10,00 | -233,77 | 6,541 | -219,539 | 0,056 | -219,415 |
| 15,00 | -220,78 | 6,163 | -208,114 | 0,073 | -207,962 |
| 20,00 | -207,79 | 5,742 | -196,572 | 0,032 | -196,509 |
| 25,00 | -194,81 | 5,372 | -184,918 | 0,024 | -184,874 |
| 30,00 | -181,82 | 5,026 | -173,158 | 0,023 | -173,118 |
| 50,00 | -129,87 | 3,795 | -125,602 | 0,383 | -125,122 |
| 75,00 | -64,94 | 2,525 | -63,329 | -0,010 | -63,336 |
| 100,00 | 0,00 | 0,000 | 0,000 | ||
| 102,00 | 5,19 | 1,414 | 5,121 | -0,024 | 5,122 |
| 103,00 | 7,79 | 1,377 | 7,685 | -0,022 | 7,686 |
| 107,79 | 20,23 | 1,202 | 19,991 | -0,012 | 19,993 |
| 115,54 | 40,36 | 0,905 | 39,998 | -0,009 | 40,002 |
| 120,00 | 51,95 | 0,731 | 51,566 | -0,010 | 51,571 |
| 123,24 | 60,36 | 0,604 | 59,995 | -0,011 | 60,001 |
| 130,90 | 80,26 | 0,302 | 80,008 | -0,012 | 80,018 |
| 150,00 | 129,87 | -0,459 | 130,447 | -0,017 | 130,469 |
| 175,00 | 194,81 | -1,472 | 197,673 | -0,021 | 197,715 |
| 200,00 | 259,74 | -2,507 | 266,348 | -0,027 | 266,419 |
| 210,00 | 285,71 | -2,927 | 294,246 | -0,029 | 294,330 |
| 220,00 | 311,69 | -3,352 | 322,397 | -0,031 | 322,498 |
| 250,00 | 389,61 | -4,656 | 408,450 | -0,045 | 408,635 |
| 275,00 | 454,55 | -5,762 | 482,109 | -0,048 | 482,339 |
| 300,00 | 519,48 | -6,902 | 557,688 | -0,055 | 557,993 |
| 310,00 | 545,45 | -7,367 | 588,491 | -0,058 | 588,831 |
| 399,00 | 776,62 | -11,759 | 879,278 | -0,095 | 880,113 |
On peut voir que les écarts de l'équation CVD sont limités et situés aux environs de 0,05% et de 0,1% pour les hautes températures.
Conversion par interpolation dans une table
Néanmoins et moyennant peu de calculs et peu de données, on peut convertir les valeurs de résistance des RTD (Pt100 DIN 43760 α = 0,00385) en température à mieux que ±0,003 °C.
Pour ce faire, on va utiliser une table comportant 40 valeurs, indexée de 1 à 40, le numéro d'index donnant la valeur ohmique, divisée par 10, de la RTD et le contenu la valeur de température associée.
Pour faciliter les explications, cette table sera dénommé $ta et ses éléments $ta[1] à $ta[40] ; la valeur ohmique de la RTD sera nommée $rtd et toutes les variables de l'algorithme seront préfixées par « $ » comme en PHP.
| Index | RRTD (Ω) | T °C | Index | RRTD (Ω) | T °C |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 10 | -219,415 | 21 | 210 | 294,330 |
| 2 | 20 | -196,509 | 22 | 220 | 322,498 |
| 3 | 30 | -173,118 | 23 | 230 | 350,928 |
| 4 | 40 | -149,304 | 24 | 240 | 379,628 |
| 5 | 50 | -125,122 | 25 | 250 | 408,635 |
| 6 | 60 | -100,617 | 26 | 260 | 437,889 |
| 7 | 70 | -75,827 | 27 | 270 | 467,445 |
| 8 | 80 | -50,781 | 28 | 280 | 497,309 |
| 9 | 90 | -25,501 | 29 | 290 | 527,489 |
| 10 | 100 | 0,000 | 30 | 300 | 557,993 |
| 11 | 110 | 25,686 | 31 | 310 | 588,831 |
| 12 | 120 | 51,571 | 32 | 320 | 620,014 |
| 13 | 130 | 77,660 | 33 | 330 | 651,554 |
| 14 | 140 | 103,958 | 34 | 340 | 683,464 |
| 15 | 150 | 130,469 | 35 | 350 | 715,758 |
| 16 | 160 | 157,198 | 36 | 360 | 748,453 |
| 17 | 170 | 184,152 | 37 | 370 | 781,564 |
| 18 | 180 | 211,336 | 38 | 380 | 815,110 |
| 19 | 190 | 238,756 | 39 | 390 | 849,109 |
| 20 | 200 | 266,419 | 40 | 400 | 883,582 |
Algorithme de premier ordre
$int = partie entière de $interp
$frac = $interp - $int
$a = $ta[$int]
$b = $ta[$int + 1]
$Temperature = $a + $frac*($b-$a)
Écarts d'interpolation de 1er ordre
Avec cet algorithme d'interpolation du premier ordre, on obtient une précision de 0,05 °C sur toute la gamme de -200°C à +880°C. Si cette précision est insuffisante, on peut utiliser l'algorithme d'interpolation de second ordre ci-dessous :
Algorithme de second ordre
$int = partie entière de $interp
$frac = $interp - $int
$a = $ta[$int]
$b = $ta[$int + 1]/2
$c = $ta[$int - 1]/2
$Temperature = $a + $frac*($b-$c + $frac*($c+$b-$a))
Écarts d'interpolation de 2e ordre
Avec l'algorithme d'interpolation de second ordre, la précision est de 0,003 °C, avec, vu le calcul de $c, une limitation inférieure à 20 Ω la limite supérieure, dans les deux algorithmes, étant de 399 Ω